本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：春日真人

翻译|武晓宇

来自希腊的苦行僧

20世纪50年代，第二次世界大战刚刚结束，普林斯顿高等研究院和同地区的普林斯顿大学成为“新数学”拓扑学的研究圣地。在这个时代，亨利·怀特黑德（J.H.C.Whitehead，1901-1960）、拉尔夫·福克斯（Ralph Fox，1913-1973）、所罗门·莱夫谢茨（Solomon Lefschetz，1884-1972）等知名拓扑学研究者声名鹊起，而其中有一位占据了特殊位置的研究者，他就是来自希腊的数学家赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯（ChristosPapakyriakopoulos，1914-1976）。

1948年，帕帕基里亚科普洛斯带着破解庞加莱猜想的雄心，离开因战乱而满目疮痍的祖国希腊，远渡重洋来到美国。20世纪50年代中期，他成功证明了三个对破解庞加莱猜想至关重要的定理。这其中，他关于“德恩引理”（Dehn’s Lemma）的论文尤为著名，以其精妙的证明方法赢得了极高的评价。

当时，许多人都坚信，首个成功证明庞加莱猜想的人必定会是“帕帕”。“帕帕”是数学家同仁们给他起的爱称，因为他的名字太长了。

即使抛开庞加莱猜想相关的研究，帕帕在校园中也是一个非常有名的人物。这份名气更多来源于他对时间的严格管理。他每天早上八点准时出现在餐厅吃早餐，八点半开始研究工作。十一点半进餐厅吃午餐，十二点半继续工作。下午三点，他会准时出现在公共休息室喝下午茶，而到了下午四点，他又会回到办公室继续埋头研究。

当时就读于普林斯顿大学研究生院的西尔万·卡佩尔（SylvainCappell，1946-）博士告诉我们，那时候每天早上上学时，他都能在同样的地方看到帕帕的身影。

“每天早晨，帕帕都会沿着这条小路步行前往数学系的那栋楼，他经过这里的时间总是接近早上八点，精准得让人可以用来校准手表。他总是随身携带一个小巧的棕色公文包，里面装着他的研究资料，内容绝对保密。他经常边走边自言自语，手势生动、表情丰富，仿佛灵感瞬间迸发，然后抓住念头一边走一边与自己展开讨论。他的生活规律得近乎机械化。据我所知，他将自己所有的时间都投入到数学，尤其是拓扑学的研究中。他为了证明庞加莱猜想，几乎放弃了一切其他事情。”

当时，普林斯顿大学曾邀请帕帕担任教授，并给出了破格的待遇，只需要他每周承担三小时的教学任务。然而，帕帕婉拒了这一邀请，他表示自己只想作为研究员，专心致志地攻克庞加莱猜想。这种选择使得他与周围的人渐行渐远。他在研究院附近租了一间公寓后，几乎完全沉浸在与庞加莱猜想的“战斗”中，即使是休息日也足不出户。

总是独自一人生活的帕帕，不知何时开始被人们称为“苦行僧”。

“上午的时候他几乎从不与人交谈，午餐也是独自一人。有时，我或者其他年轻学生曾尝试靠近他，与他共进午餐，但他似乎不喜欢被打扰，总是匆匆吃完后立即返回研究室。

“他的责任感非常强。这个社会给他支付工资，又发放研究费用支持他的工作，他觉得这是一种恩惠。而且，他不用承担教授的工作，也不需要教育学生或处理日常琐事，他把这些看成是学校给予自己的特权。因此，他认为自己必须投入全部精力攻克这个伟大的问题，直到最终解决它。”

当时也在研究拓扑学的卡佩尔博士，是为数不多的与帕帕关系亲近的年轻人之一。他回忆说：

“当时我年纪尚轻，和他的年龄差异如同父子，那时候的我无忧无虑，毫无顾忌。也许正因如此，他心情好的时候偶尔会主动和我搭话。”

帕帕唯一会在人前露面的时间，就是每天的下午茶时间。当时，在普林斯顿大学有个传统，大家每天下午三点聚集在公共休息室喝茶、聊天。无论是数学家、物理学家还是历史学家，各领域的研究者都会聚在一起，畅谈最新的研究成果。帕帕在下午茶会上的行为模式则每次都一成不变，毫厘不差。

“他会在下午三点整准时来到休息室，坐在靠近暖炉的同一把椅子上，开始阅读《纽约时报》。读完后，他会把报纸整齐地放回桌子上，方便其他人取阅，然后稍微喝点茶，简短地参与大家的讨论。如果有人靠近，他也会回应，但从不谈论自己的事情。他甚至不愿让别人知道自己刚才读的是报纸的哪一部分。这或许是因为他希望周围的人不要打扰自己，这样他就能专注于一个问题点上。”

对于帕帕的这种有些极端的隐私保护主义，就连和他较为亲近的卡佩尔博士也感到惊讶。

“帕帕把论文的原稿锁在抽屉里。有一次，他稍微打开了一点抽屉，让我看了一眼，但马上又迅速合上了。我觉得他这种不愿与人讨论、不愿分享研究的做法太孤僻了。要知道，数学研究生活中的一大乐趣，正是与他人分享和讨论。”

来自德国的年轻的对手

帕帕并不总是沉默孤僻的。卡佩尔博士提到，有一次在下午茶时间，帕帕的眼睛熠熠发光，显得异常兴奋。这是因为，当时公共休息室里来了一位年轻的数学家，而这个人恰好也在研究庞加莱猜想。

当时，受到帕帕成功解决“德恩引理”的启发，有不少年轻数学家来到普林斯顿，试图以此为基础，挑战庞加莱猜想的证明。来自德国的沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken，1928-2022）博士也是其中一员。

提到哈肯博士，许多人可能会立刻想到他解决了世界著名难题“四色定理”的辉煌成就。1852年，弗朗西斯·格思里（Francis Guthrie）提出了一个命题：世界上任何一张地图，只需要四种颜色就可以确保相邻的区域颜色不同。然而，这一命题的数学证明在之后的一个多世纪里始终未能完成。直到1976年，哈肯博士与肯尼思·阿佩尔（Kenneth Appel）博士使用当时仍属罕见的电子计算机，正式宣布证明了四色定理。但是，当时这一结果引发了激烈的争议。人们质疑，使用“计算机”这一黑匣子得出的证明是否完全可靠？这样一个无法完全由人类亲自检查的庞大证明，能否被数学界认可？这些问题在当时引起了数学界的广泛讨论。

无论如何，当哈肯博士来到普林斯顿高等研究院时，他还是一名年轻的拓扑学研究者。一边是被誉为“最接近庞加莱猜想的人”的帕帕，另一边是奋力追赶他的哈肯博士。很快，这两位数学家之间展开了激烈的较量。

2007年7月的一个星期天早晨，我们来到美国芝加哥市郊，拜访了沃尔夫冈·哈肯博士。哈肯博士早在十年前便从伊利诺伊大学退休，现在他在家中继续数学研究。

博士带我们走进了二楼的书房。书桌上摆放着一个巨大的宇宙模型，还有一台计算机。计算机的屏幕上不断弹出计算结果，显然博士目前的研究仍与计算机密不可分。实际上，哈肯博士曾计划过，如果佩雷尔曼的庞加莱猜想证明失败，他就反过来尝试证明“庞加莱猜想是错误的”。

在数学中，证明一个命题为“真”（正确），需要建立一个完备无漏洞的逻辑结构，能在任何情况下成立。但是，如果要证明一个命题为“伪”（错误），只需找到一个反例，展示其逻辑上的错误即可。博士的构想是，如果庞加莱猜想是错误的，那么让计算机进行海量运算，运气好的话或许能发现一个反例。

“我完全没有想到佩雷尔曼的证明能够成功。当时，我犹豫着是否要用计算机重新开始我的庞加莱猜想研究。现在回想起来，幸好那时迟迟没有下定决心，因为如今我们已经知道庞加莱猜想是正确的。多亏当初的犹豫，我才没有把时间浪费在无意义的研究上。”

如今，庞加莱猜想已经被确认是一个正确的命题。哈肯博士庆幸自己的好运，这一次他没有再次陷入过去那样的泥沼，而是能够全身而退。

打开书房里的柜子，我们看到了堆积如山的旧论文，这几乎涵盖了哈肯博士近五十年的心血。博士逐一指着这些论文的标题给我们看，几乎全都与庞加莱猜想有关。

“这篇论文是第三次追加发表的成果。因为证明的关键部分一直没有实质性的进展，所以我只能先将部分内容单独发表。之后的几年，我陆续发表了其他几篇论文，当时我真的觉得自己已经非常接近庞加莱猜想的核心了。当然，最终这些证明还是错误的……”

哈肯博士第一次接触庞加莱猜想是在大学时期。起初，他以为这只是一个很简单的问题，但很快他就发现，这个猜想如同无底深渊，一旦投身其中，便再也无法脱身。

“刚看到庞加莱猜想时，我觉得它看上去非常简单，以至于我认为无法证明它的原因，要么是我太笨，要么是我不够努力。现在回想起来，只能说当时的我真是太年轻、太天真了……“

“回想起来，其实四色定理的研究也有类似的过程。20世纪初，德国著名数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）听说了四色定理的传言，认为‘这么简单的问题之所以没有被证明，一定是因为还没有一流的数学家参与研究’。于是，他开始亲自着手研究四色定理。“

“那个时候，哥德尔不完全性定理还没有出现，所以人们根本没有‘数学中可能存在无法证明的命题’这样的概念。闵可夫斯基当时觉得，问题的解决应该很简单，只是研究者的思维受到了干扰，无法找到清晰的解法。然而，他经过一年多的研究后最终放弃，并感叹道：‘或许是上帝不想让我们继续研究下去了吧。’“

“作为数学家，要想取得成功，在某种意义上必须保持极大的乐观。但即使是最出色的乐观主义者，有时候也可能陷入巨大的错误之中。”

无声的对决

当时，有一个共同问题困扰着哈肯博士和帕帕，即在宇宙空间中那根绳子打结的点。收回环绕宇宙一圈的绳子时，绳子在宇宙中复杂地缠绕在一起就会打结，形成结扣。如果不解决结扣的问题，就无法证明庞加莱猜想。然而，无论是哈肯博士还是帕帕，都始终找不到合适的解决方法。

在哈肯博士的形容中，“所谓庞加莱猜想的陷阱，就是这样一个过程。刚开始，证明的98%看似轻而易举，但总是在最后一步失败。你往往会想到其他可能的解决思路，于是立即投入新的研究。但当你发现这个新思路行不通时，又会涌现新的点子。就这样，精神被不断地搅乱，逐渐深陷其中不可自拔。最初的希望最终被绝望取代，让人变得越来越难以抑制自己的怒火。”

有一次，帕帕难得邀请卡佩尔博士一起吃饭。当时，他显得非常兴奋，还对卡佩尔博士说道：“我的工作取得了重大进展，虽然还没有完全证明庞加莱猜想，但我已经非常接近成功了。”然而，几个月后，当卡佩尔博士在大学里再次见到他时，他却完全没有提及研究进展的事情。很可能，他在证明中发现了某些致命的缺陷。从那以后，帕帕开始闭门不出，很少出现在公众面前。

那段时间里，看电影是帕帕唯一的消遣活动，这还是他的主治医生给他的建议。医生劝他最好偶尔远离数学，接触一下数学以外的其他世界。帕帕是极为认真的人，他听从了医生的建议，每周都会固定去普林斯顿大学附近的电影院看一次电影。

“他会在每周固定的时间去电影院，总是坐在最后一排。他对电影的内容毫不在意，无论是儿童片、喜剧片还是色情片，他都照看不误。对于他来说，这似乎是他生活中唯一不涉及数学的活动。”

然而，就在这期间，一件令人震惊的事情发生了。哈肯博士宣布，他已经证明了庞加莱猜想！这一消息让帕帕内心深受冲击。

卡佩尔博士告诉我们：“当时，帕帕非常焦虑。他一直被称为‘最接近庞加莱猜想的人’，这种荣耀和周围的期待使他陷入一种偏执的心理。他认为自己必须在所有人之前完成这个命题的证明。

与此同时，各大数学杂志陆续得知该消息，纷纷向哈肯博士发出询问。

“我的那篇论文确实很出色，几乎所有人都以为我已经成功证明了庞加莱猜想。一些顶级杂志甚至直接邀请我发表论文，并且表示可以跳过审查环节。也许是因为传闻中大家都相信我的证明是正确的，所以他们判断直接刊登也没有问题吧。不过，幸好当时我答复他们：‘不行，我认为论文仍有可能存在错误，我希望能够让其他学者先审查这篇论文。’”

事实证明，谨慎是必要的。就在提交论文的两天前，哈肯博士发现论文中存在一个重大错误，于是及时撤回了自己的证明，避免了一场灾难。然而，这短短几天内发生的事，却给他那位严谨的竞争对手帕帕带去了极大的心理冲击。

“证明在最后一刻崩溃，这真是一件非常丢脸的事情。”哈肯博士承认，“不过，这个错误是我自己发现，而不是被别人指出的，这让我稍微保住了一点颜面。尽管如此，帕帕基里亚科普洛斯依然连续三个晚上难以入睡。他非常愤怒，认为我急于求成以至仓促发表论文。在这一点上，我完全无法反驳他。”

这次失败让哈肯博士也陷入了困境。他因为急于修正论文中的错误而患上了暴食症，未能完成证明的焦虑也使他经常与周围的人发生矛盾。最终，哈肯博士开始转变想法，他坚信庞加莱猜想本身就是错误的。

“我当时在想，我曾认为自己已经完成了庞加莱猜想证明的98%，但事实并非如此，甚至可能连门槛都没有摸到。毕竟，我的研究仅举出了一些非常简单的特殊例子，却连这些例子都无法证明正确性。因此，我决定系统地去寻找反例。”

所谓反例，就是假设一根绳子环绕宇宙一圈后能够成功收回，但这并不一定意味着宇宙是球形的。哈肯博士利用当时尚未普及的电子计算机，开始研究是否存在“非球形的宇宙中绳子仍可收回”的反例。

有一天，哈肯博士向帕帕透露了自己的想法。

“当我说‘庞加莱猜想可能是错误的命题’时，帕帕的脸色变得前所未有的难看。因为对他而言，如果这个命题被证明是错误的，那么整个世界对他来说将变得毫无意义。他对庞加莱猜想怀有一种类似宗教信仰般坚定的信念，而我的这句话无疑击碎了他的全部信仰，这对他来说是非常恐怖的。”

自那次交流之后，帕帕对哈肯博士的研究变得过度警惕。卡佩尔博士回忆起一次与帕帕一同听哈肯博士讲座的情景，当时帕帕的脸涨得通红，显得十分焦躁不安。

“那次讲座中，哈肯博士介绍了利用计算机解决复杂数学问题的想法。帕帕听后明显非常生气，我试图劝他：‘别这么激动，哈肯博士并没有针对庞加莱猜想发表任何意见，你完全不用担心。’然而，他并没有听进去，反而滔滔不绝地对我说：‘你难道看不出来他们的真正意图吗？哈肯博士他们想要说服数学界相信，用计算机解决那些伟大的数学难题是可能的。或许下周他们就会宣布，已经用计算机证明了庞加莱猜想。如果我们现在接受这种观念，到那时还能提出反驳吗？他们绝对是在混淆视听。’”

“一周后，我在公共休息室里看到了帕帕，他坐在自己惯常的位置上，显得平静许多。我问他：‘现在不担心有人用计算机解开庞加莱猜想了吗？’他很冷静地回答我：‘我当然担心，但周末的时候我认真思考了一下，我相信数学有自我防御的能力。’”

“帕帕始终坚信数学的深奥与力量。他认为数学是人类智慧历经漫长时间积累的结晶，在某种意义上，数学本身就有生命蕴含其中。”

卡佩尔博士还记得，那个时期帕帕向他坦白了一些往事。

“当时为什么会聊到那个话题，我已经记不清了。有一次，他对我说：‘年轻时，我在希腊有个恋人，但因为父母反对，我们最终分手了。来到美国后，我觉得必须将自己的一切奉献给这道闻名于世的伟大命题，它已经成为我的生活重心。’然后他补充道：‘如果有一天我能够解开这个难题，我或许会回到祖国，寻找一位适合自己的伴侣，共度余生。为了这个目标，我必须尽快证明庞加莱猜想。’

“这番话令我深受震撼。在我的印象中，帕帕一直是一位个性独特的人，沉浸在完全专注于庞加莱猜想的生活中。但他也曾像普通人一样感受过爱，也有过普通人的烦恼。他也有家人，也曾担心父母对自己恋爱关系的干涉。而这些感情，他始终深藏在心底，从未表露。

“虽然帕帕是一位决心将一生奉献给特定研究方向的独特研究者，但我终于意识到，他并非缺乏人类的正常情感。如果他选择了另一种人生，一定能够给一位女士幸福。”

一位是倾尽一生，试图证明“庞加莱猜想正确”的人；另一位则是利用最新技术，试图确认“庞加莱猜想错误”的人。这两位道路截然不同的“宿敌”之间的较量，却以意外的方式戛然而止。

帕帕患上了胃癌，离开了人世。

在帕帕的公寓里，人们发现了一本遗稿，约160页。这似乎是一本关于三维宇宙的书的草稿。在草稿的某一章中，标题写着“庞加莱猜想的证明”，但从那之后，所有的页面都是空白的。

哈肯博士回忆说：“与庞加莱猜想的战斗，也是一种随时可能让人‘走火入魔’的经历。”而让哈肯博士能够勉强保持理智的，正是家人一些若无其事却意味深长的话。

“家里人都叫我‘庞加莱病患者’，孩子们甚至会说‘爸爸现在得了庞加莱病，没法说话了’。正是这些戏谑和调侃，才让我没有越陷越深。如果当时家人对我说‘爸爸的研究是人类历史上极其重要的工作’之类的话，那结果一定会很可怕。是我的家人，把我从那个深渊中拉回到了正常的世界。”

最终，哈肯博士成功地摆脱了“庞加莱病”。他中断了对庞加莱猜想的研究，转而攻克了另一个难题。

“我曾经长时间专注于庞加莱猜想的研究，但后来终于意识到，我的研究方法已经走入了死胡同，再也无法顺利推进了。就在这个时候，德国数学家海因里希·黑施（Heinrich Heesch，1906-1995）联系了我，邀请我尝试解决四色问题。他提到，我之前向他建议的一个关于计算机设置的小改动，大幅提升了运算效率，使其达到了原来的20倍。这让我感慨不已：‘太不可思议了！相比在庞加莱猜想上苦苦耗费一年时间，在四色问题上只用了一天的时间，甚至只是愉快地度过一个下午，就取得了这么大的进展！’当时，我内心萌生了一个念头：或许我可以重新开始。

“最终，我在庞加莱猜想的研究中陷入了绝望的深渊，而四色问题的成功让我得以摆脱庞加莱猜想的阴影。我庆幸自己没有完全被‘庞加莱病’拖垮，而是成功地恢复了过来。”

哈肯博士在四色问题上的突破，发生在帕帕去世仅仅一个月后。摆脱“庞加莱病”，需要一个新的难题。这样看来，数学家始终没有能够摆脱“继续挑战难题”这种病。

在探访这两位数学家的故事之后，我们来到普林斯顿大学的公墓。据说，帕帕基里亚科普洛斯博士可能被安葬于此。然而，这里并没有相关的下葬记录。帕帕在美国没有亲属，也没有举行葬礼。即便是与他交好的数学家们，也不知道他的墓地究竟在哪里。

帕帕的一生是否真的充满不幸？对此，卡佩尔博士给出了否定的回答：

“帕帕生前曾多次对我说，他从未想过要将自己的人生方式推荐给他人，但他自己对此感到满意。我非常理解他的心情。数学家为难题所吸引，对难题情有独钟的情感是普遍存在的。

“数学家的生活，常常是在‘苦乐交织的现实世界’与那个特别的‘数学世界’之间来回穿梭。能够打开‘数学世界’大门的人寥寥无几，但‘数学世界’中存在着永恒的真理。只有完全理解这些真理的人，才能目睹那里的完美与纯粹的美。这种美好就如同一个晶莹剔透的水晶迷宫。迷宫的墙壁反射出夺目的光芒，使数学家们深深着迷，不知不觉地沉浸其中。

“帕帕超越了大多数的数学家，他选择将自己一生中的大部分时间留在了‘另一个世界’。他只是偶尔为了饮食才返回现实世界……在那个世界中，他找到了最珍贵的宝物——庞加莱猜想。他本想将那纯粹而极致的美记录下来、描述出来，可惜未能如愿。然而，这样的遗憾在科学世界里并不罕见。”

某位年迈数学家的述怀

20世纪50年代到60年代，迷恋庞加莱猜想的数学家远不止帕帕和哈肯博士两人。当时任职于普林斯顿高等研究院的教授迪恩·蒙哥马利（Deane Montgomery）博士曾提到，有一个周末他接连收到三位数学家的私密请求：“我解开了庞加莱猜想，请暂时替我保密。”随后，为验证这些声明的真伪，蒙哥马利博士花费了大量心力。

无数的数学家被庞加莱猜想的“魔力”所吸引，他们的人生轨迹也发生了翻天覆地的变化。

在美国西海岸俯瞰太平洋的城市伯克利，居住着另一位与庞加莱猜想“较量”了大半生的数学家——约翰·斯托林斯（JohnStallings，1935-2008）博士。

“我并不认为佩雷尔曼的证明就完全正确。”斯托林斯博士粗声说道。他对庞加莱猜想已被解决的消息持怀疑态度。

“过去的事我都忘了，现在我不谈数学，只弹钢琴。”斯托林斯博士多次以此回绝采访请求。最终，我们只说服他同意拍摄一段钢琴演奏视频。

获得音乐系的许可后，我们走进了一间练习室。博士坐到钢琴前，从双肩包里拿出一本破旧的乐谱，封面写着“勃拉姆斯，Op.10”。他开始演奏。音乐悲壮而深沉，却又不时流露出如阳光穿过树影般柔和的旋律。望着博士那专注而安然的神情，我们逐渐沉浸其中。忽然，他在键盘上飞舞的手戛然而止。

“不知道庞加莱本人是否意识到，他的这个猜想让那么多数学家都失败了。”

斯托林斯博士低声说道，目光中透着一丝感慨。

“无数的数学家追随庞加莱的预言，最终到达了某个难以言喻的神奇世界。”

博士随后轻声念出庞加莱在他论文末尾处留下那句话：

“Maiscettequestion nousentraîneraittrop loin（这个问题必将引领我们到达那遥远的世界）。”

“给你们看一篇有趣的论文吧。”

演奏结束后，博士从双肩包中取出一本论文集，显然是为这次采访特意准备的。他翻开其中的一篇文章，题目是《证明庞加莱猜想的失败之路》（How Not to Prove thePoincaréConjecture）。

这篇论文发表于20世纪30年代，论文中详细记录了许多挑战庞加莱猜想的数学家共同面对的无尽恐惧。斯托林斯博士为我们朗读了一段：

“尽管错误显而易见，但他们却无法察觉证明中的漏洞。原因要么是过度自信与兴奋，要么是对失败的恐惧干扰了正常思考。衷心祈祷未来的年轻数学家能找到避免这些陷阱的方法。”

庞加莱猜想这道充满魔幻魅力的世纪难题，可以比作1851年赫尔曼·梅尔维尔（Herman Melville）创作的小说《白鲸》中的巨大白鲸——莫比·迪克。在这部小说中，亚哈船长（亚哈船长的一条腿被莫比·迪克咬掉，之后用假肢代替，自此他执着于复仇）与船员们赌上性命来追捕莫比·迪克，最终却葬身于茫茫大海之中。

斯托林斯博士，更像是那名幸存的叙述者伊什梅尔。他年轻时，庞加莱猜想或许是他心中必须猎取的目标，但随着岁月流逝，这个目标逐渐变成了一头不可战胜的“魔兽”。

庞加莱猜想的挑战仍将继续，而下一代数学家注定会接过这场“追逐”的接力棒，前赴后继，追寻着那个“遥远的世界”。