一 虽然量子场论本身的基础不够精确，它的物理意义也不见得能够说服所有的物理学家，可是得出来的几何结论即使不能以物理学的思维来严格证明，却意义深厚且往往可以用不同的数学方法来检验。

二 因为无穷维空间在物理上有许多直观的想法，从数学的观点来看，几乎是不可能接受的。这种公式往往是从路径积分加上重整化的观念导出来的。在严格上和直观上，数学家都不能够接受，但却得出正确的答案。

三 因此我们要追究物理学家在量子场论的直观是怎样训练出来的，我们几何学家缺乏这方面的训练。近年来，从量子场论得出来的重要观念，解决了很多我们以前没有办法解决的问题。可以看出，古典力学、量子力学和量子场论对几何的影响是很深远的。

四 我想这个发展会继续下去。到了 21 世纪的上半叶，无穷维空间的几何要不断地受到量子场论的影响。如果单从数学出发，我们很容易地定义什么叫做无穷维空间上的几何，可是往往没有办法得出任何有意义的结论。这是因为几何学家对现代物理的观念搞得不清楚，而无穷维的几何往往不是古典的直观可以得到。

五 所以我们要接受从现代物理或其他自然界提供的观念，这是一个很重要的交汇。数学家自以为很漂亮的工具，往往不能够解决任何问题。假如物理上的直观可以代表真理的话，这种直观会成为几何学的骨干。

六 数学家没有办法解答这个问题，连猜测都没有办法做。这个问题在 10 年前用弦理论的镜像对称猜测到一个公式来表达所有解的个数。这个镜像对称理论是 10 年前，我的一个博士后研究员和在Texas的一个教授跟他们的同事们建立的。镜像对称没有办法严格地去证明这个公式。当时用古典方法一个一个地去检查，发觉阶数小时，公式基本上是对的。可是这种检验并不是公式的证明.从量子场论得来的结果，一般来说不能当做定理。后来，这个公式终于由我和刘克峰、连邦豪以及俄国数学家Givental用数学的方法给出了严格的证明。虽然最后的证明跟路径积分的想法无关，但是得到这个公式的过程有很大的意义。因为在通过量子场论找到这个公式以前，数学家连怎样找这个公式都不知道，等到这个公式找出来以后，我们才有办法从公式本身去着想并得到它的证明。

以上文字摘录于“研数学 习物理”在知乎转载丘成桐的文章《微分几何学的历史与未来发展》.

物理学家维格纳，曾经写过一篇文章，《数学在自然科学中不合理的效用》，谈到物理学要依靠数学的奇特现象。例如，牛顿的力学是这样一个开始，他的名著《自然哲学的数学原理》、就是第一部完整地用数学来描述物理的奠基性的著作。后来发现电动力学在数学上实际是一维的纤维丛。狭义相对论的数学是闵可夫斯基四维几何，广义相对论的数学是黎曼几何，量子力学的数学是希尔伯特空间。似乎说起来，物理的背后就是数学，数学是物理发展到最高境界的归宿。

杨振宁曾经总结道，理论物理的发展。是从“实验”到“唯象理论”，然后到“理论构架，”最后到“数学。”这完美地对应了以上我们列举的例子.

狄拉克则曾经提出要从数学方程中寻找物理解释。爱因斯坦说过：“自然界是可以想象得到的最简单的数学观念的具体表现。”而我们从以上列举的事实可以看到，事情似乎就是这样。物理学从研究实际的事物出发，不断的归纳、抽象，最后落脚在数学上。数学是物理学背后的依靠和支撑。

以上我们强调了物理依靠数学的一面.实际在历史上，数学与物理经常是不分家的，比如阿基米德既是伟大的数学家，也是伟大的物理学家。牛顿、高斯、彭加勒、希尔伯特这些人都是物理和数学的双重研究者。而且从物理研究中得出数学的知识，牛顿那里就是一个伟大的例子。微积分的产生，它的动机在于研究力学现象。

然而从主流上来看，还是物理学依靠数学的多.一直到规范场。从外尔、杨振宁、米尔斯由研究物理的动机出发，得到了规范场论，后来发现它跟数学上的纤维丛理论是同一个理论。这个是从物理中得到数学的现代的重要例子。而丘成桐在以上我们引用他的文字中说的，是在量子场论里面的研究得出数学.似乎是研究物理学到一定的深度，物理问题跟数学问题就难以区分了，他们都是研究大自然的同一个结构.所以在用路径积分和重整化的方法来研究量子场论和超弦理论的时候，就提出了很多的数学公式、猜想、思想等等.而这样得出来的数学知识，往往是纯粹数学家想不到的或做不到的。物理学家却能够做得到，把它挖掘出来了。比如丘成桐上面列举的一个例子。还有从超弦理论中得到的镜像对称这个例子，还有很多很多的这种例子.其范围之广、程度之深，以至于人们说超弦理论在统一物理的同时，也导致了一个副产品：数学的统一。