从带伞出门到投资决策，背后都藏着一个数学秘密——贝叶斯法则。但在奇妙的量子世界，该如何用它来更新判断？这是一个困扰物理学界长达几十年的难题。

2025年8月28日，香港科技大学（广州）信息枢纽助理教授柏舸以一作身份在《物理评论快报》发表研究，成功推导出量子贝叶斯法则，建立了量子态在测量结果影响下的更新机制，为量子推断提供了理论基础。这一理论成果将为量子计算和量子通信中的错误修正等领域提供新的思路。

本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：路飞

我们无时无刻不在根据新信息调整自己的判断：看到天气预报说“降雨概率80%”，会默默在包里塞一把伞；发现股票最近连续上涨，会重新评估它的投资价值。这些看似本能的决策背后，其实隐藏着一个强大的数学工具——贝叶斯法则。它能帮助我们用严谨的概率计算，把旧认知和新证据结合起来，得到更合理的“新判断”。

可当科学家把目光投向微观世界时，问题变得复杂起来：电子的自旋状态、光子的偏振方向这些量子属性，该如何用类似的“规则”更新判断？在量子世界，并不存在像经典贝叶斯那样被普遍接受的“量子贝叶斯更新规则”。

尽管已有不少候选方案被提出，但由于缺乏统一的理据，学界并未形成普遍共识。2025年8月28日，香港科技大学（广州）信息枢纽助理教授柏舸及合作者在《物理评论快报》发表概念性研究，从简单假设——最小变化原理出发，用严谨的数学推导证明了“量子贝叶斯法则”的有力候选者——佩茨转置映射在特定条件下的正确性，为量子世界的“认知更新”找到了坚实的理论基础。

从经典贝叶斯到量子难题

要理解量子贝叶斯法则的突破，我们得先从经典世界的贝叶斯逻辑说起——它不仅是生活决策的工具，更是概率理论的核心支柱。

贝叶斯法则以托马斯・贝叶斯的名字命名。在他于1761年去世后，其遗稿《论机会学说中一个问题的求解》在1763年发表，首次奠定了“由果推因”的统计推断框架——将初始判断与新线索不断融合，动态调整对事件可能性的判断，使结果越来越精确。贝叶斯推断不只给出最可能的答案，还能量化对答案的确信程度。

经典贝叶斯法则的核心思想，可以用一个简单的例子讲明白：假设你所在的社区通报近期某病毒感染率为0.5%（这是“先验信念”γ，即人群中随机一人患病的初始概率）。你去做了一次病毒检测（这是“正向过程”φ，即检测技术对真实状态的反馈规律），而根据《中华流行病学杂志》的研究，这类病毒检测的灵敏度约为89.8%（即真阳性率，患病者检测出阳性的概率），特异性达99.99%（即真阴性率，健康人检测出阴性的概率）。当你的检测结果显示为“阳性”（这是“新证据”），你自然会追问：“我真的患病的概率到底有多大？”——贝叶斯法则正是回答这个问题的数学工具。

它的核心公式很直接：后验概率=（似然函数×先验概率）/全概率。

套用到病毒检测的例子里：“后验概率”是“检测阳性时真患病的概率”，“似然函数”是“患病时检测阳性的概率（89.8%）”，“先验概率”是社区感染率（0.5%），“全概率”则是“所有人检测出阳性的总概率”（包括真阳性和假阳性）。通过计算可知，考虑检测阳性和低感染率的先验信息，实际患病概率为97.83%而非100%——这就是经典的“信念更新”。

简单来说，就是用新证据的可信度（似然函数）修正最初的猜测，同时保证结果符合概率的基本规律。

实际上，贝叶斯法则是“最小变化原理”的必然结果。这个原理的逻辑更朴素：更新后的判断必须符合新证据，但要尽可能和原来的判断差别最小。比如社区感染率仅0.5%而检测并不绝对准确，你不会因为一次阳性就立刻断定自己“100%患病”，因为这和初始的低感染率认知差距太大，属于“无理由的大改动”。科学家通过数学证明发现：无论是用KL散度、海林格距离，还是均方误差等标准衡量“改动大小”，最终得到的最优解，都恰好是贝叶斯法则的结果。

随着量子技术的发展，研究人员逐渐发现：经典贝叶斯法则的逻辑，在量子世界里同样重要。在量子计算中，量子计算机的核心“量子比特”很容易受环境干扰出错（比如电子自旋从“上”变成“下”），要恢复正确状态，就需要根据“出错后的量子态”（新证据）倒推“原来的状态”——这本质上是“量子版的判断更新”。在量子通信中，分发量子密钥时，接收方需要根据收到的光子偏振状态（新证据），更新对“发送方密钥”的判断，确保通信安全。在量子测量中，测量量子系统时，得到的结果往往是不确定的（比如测量电子自旋，有50%概率得到“上”，50%得到“下”），要根据测量结果修正对“系统初始状态”的认知，也需要类似的规则。

但量子世界比经典世界难搞得多，主要卡在两个核心问题上。

第一，“信念”和“过程”的数学描述完全不同。经典世界里，“信念”是简单的概率分布（社区感染率0.5%），“过程”是条件概率（病毒检测的可信度）；但在量子世界，“信念”变成了“密度矩阵”：量子系统的状态不能用“确定的概率”描述（比如电子自旋可以是“100%向上”，也可以是“处于‘上’和‘下’的叠加态”），需要用“密度矩阵”这种更复杂的数学工具——它不仅包含概率信息，还包含量子态的相位等量子特有的属性；“过程”变成了“量子信道”：量子信息的传递（比如从一个量子比特传到另一个量子比特）不是简单的“条件概率”，而是“完全正迹保持映射”（CPTP映射）——这种映射不仅可以描述条件概率，还可以刻画量子演化中的叠加、纠缠等现象。

第二，经典最小变化原理的核心是“比较联合分布”——比如“更新前的联合概率（患病且检测阳性，健康且检测阳性，患病且检测阴性，健康且检测阴性，四种情况的联合概率分布）”和“更新后的联合分布”，通过最小化两者的差别找到最优解。但量子世界里，“量子信道”只能告诉我们“输入量子态如何变成输出量子态”，却没有“输入-输出联合分布”的直接对应——就像你只能看到快递从北京出发、到上海签收，却看不到运输途中的完整包裹，根本没法比较“运输路径上的差别”。

正因为这两个难题，过去几十年里，科学家提出了十几种量子贝叶斯法则，但大多不符合经典贝叶斯的核心公理。只有佩茨转置映射（PetzTransposeMap）是少数符合公理的方案，但它始终没能和“最小变化原理”挂钩——就像我们知道一个公式能算对结果，却不知道它为什么是这种形式、在什么情况下适用。

给量子过程拍合影，用相似度定规则

面对量子世界的难题，柏舸没有试图修改经典贝叶斯法则，而是尝试寻找量子世界与经典概率的结合点。整个研究的核心，就是从最小变化原理出发，做了三步关键操作：给量子过程造合影，用保真度测相似，用数学证明找最优。

第一步，用量子纠缠给量子过程“拍张合影”。量子没有“联合分布”，是因为量子信息具有不可复制性。原始的输入状态在经过量子过程变成了输出状态，输出和输出状态不可能在同一时刻被看到。经典上，可以通过给输入状态做一个“备份”，之后在与输出状态结合成为“联合分布”；但量子信息的不可复制性使得这种备份无法完成。

柏舸团队利用了另一量子特性，量子纠缠，规避了这一问题。使用一个与原始输入互相纠缠的系统来作为原始输入的“镜像”，这样，即使输入状态变成了输出状态，量子纠缠仍然会是原始系统与镜像系统间的纽带，仍然可以通过“镜像”来看到原始输入中的信息。这一特性，使得原先无法见面的输入和输出系统，可以通过一面纠缠形成的镜子拍出一张“合影”。这样一来，比较正向和反向过程的差别，就变成了正向和反向过程对应的两张合影的相似度——量子世界的“最小变化”终于有了可衡量的对象。

第二步，建立“最小变化”的衡量标准。经典世界用KL散度、均方误差衡量两个概率分布的差别，量子世界则有更常用的指标——“保真度”（Fidelity）。这个指标的取值范围在0到1之间：当两个量子态完全相同时，保真度=1；当两个量子态可以精确区分时（比如互相垂直的两个偏振方向），保真度=0；数值越接近1，说明两个量子态的相似度越高，改动越小。

由此，“最小变化原理”得以定义。“我们要找的反向量子信道R，必须满足两个条件：第一，让反向信道符合输出端的新证据；第二，它的‘合影’与正向信道‘合影’的保真度最大（即变化最小），同时要求R是一个合法的CPTP映射。”柏舸解释道。

第三步，则是对“最小变化”这一优化问题的求解。

团队通过求解约束优化问题，可以唯一确定佩茨转置映射在多种实际情形中是最小变化原理得到的最优解。这个结果与经典贝叶斯的逻辑高度一致：不管观测结果如何，对原始输入最佳的推断方式始终是贝叶斯法则。因此，由此得出的量子贝叶斯法则不是某个特殊情况的方案，而是具有普适性的通用规则。

“如果把证明这个优化问题有唯一解并且这个解就是佩茨转置映射的过程比作是大海捞针，那么最难的一步是‘提桶’，在哪里把这个桶提出来里面刚好有‘针’，这是最难的。很幸运的是，我只提了大概‘五桶水’就代入数据验证得出结论了。这也得益于博后期间导师ValerioScarani看我数学基础好，在做量子热力学方向研究时经常让我推导公式有关，研究的难度稀释到此前的热力学研究中了。”柏舸表示。

这项研究刚好也呼应了柏舸此前的研究，为量子熵增提供了新的视角。

量子贝叶斯法则

柏舸团队的研究不仅解决了基础物理的理论难题，更给量子技术的发展打开了新的大门——它的应用场景，几乎覆盖了当前量子科技的所有核心领域。

在量子计算中，最大痛点就是“量子比特容易出错”。比如一个量子比特原本处于叠加态，受环境干扰后可能失去叠加特性，导致计算结果错误。要修正这个错误，就需要根据“出错后的量子态”（新证据），倒推“原来的正确状态”——这正是量子贝叶斯法则的用武之地。类似地，在量子通信中，数据编码与噪声消除，也离不开对于原始数据的逻辑推断；在量子精密测量中，由统计数据得到被测量的精确估计，也可以发挥量子贝叶斯法则的特性。

这项研究不仅在于为量子技术提供了理论基础，更在于它搭建了经典概率和量子理论之间的桥梁。

“量子世界的‘怪异’，其底层的‘理性逻辑’和经典世界并无二致，只是数学描述显得更复杂。”柏舸说，他认为：“这套最小变化原理+佩茨转置映射的逻辑，未来还可以推广到更复杂的量子系统。由多个量子比特组成的网络（比如量子互联网的雏形），信息传递涉及多个正向和反向信道，可以用类似的方法定义网络级的量子贝叶斯法则。”

1995年出生的柏舸于2012年通过计算机竞赛保送清华大学跨学科信息科学研究所（IIIS）的姚班。本科期间，他跟导师入门量子信息领域，2016年“追随”导师前往香港大学完成博士学业。2021年初，柏舸正式获得博士学位，在等待美国签证的同时，他继续留在实验室“打工”。

“由于我是交叉学科背景的，相较于物理学背景的人来说，我的计算机水平是最好的，所以导师这一年指派了一个选题给我，关于量子因果关系验证的。”柏舸觉得走向这个选题方向有点误打误撞的意味，“等了一年没有拿到美国的签证，于是我转向申请新加坡的高校，2023年前往新加坡国立大学量子技术中心的担任博士后。其实申请并没有刻意照着这个方向去申请，巧合的是博士后导师刚好有个细分的方向可以与此前的研究衔接起来。”

与博士导师宽松的管理风格不同，柏舸的博士后导师Valerio展现出了更强的主导性。研究之初，Valerio凭借在量子贝叶斯理论领域的深厚积累，指明了选题方向；收尾阶段，他又亲自操刀，负责文稿的最终打磨。这种对细节的把控力让柏舸印象深刻，他笑着感叹说：“Valerio的文稿写作能力特别强。看他的文章就像是看水晶一样，晶莹剔透，极度舒适。”

参考资料：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/5n4p-bxhm