本周，数学记者约瑟夫·豪莱特（Joseph Howlett）重点介绍了人们聚在一起时产生的数学洞见时刻。

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伟大的数学发现为何总在咖啡时光诞生

忘掉你脑海中“孤独天才深夜大喊‘啊哈（Eureka，尤里卡）！’”的刻板印象吧。真正的突破性进展，往往发生在数学家们聚在一起交流思想的时刻。

即便一项里程碑式的成果最终由单一作者发表，那些关键的顿悟时刻，通常也能追溯到他们拜访其他院系、在会议上听到一场精彩报告，或是进行过一次看似无关紧要的闲谈。数学史上许多“尤里卡时刻”都发生在现实生活中——只要是数学家们相聚的地方。

2020年新冠疫情导致会议停摆一年多，数学家们无法并肩站在黑板前协作，只能通过Zoom沟通，这让他们深切体会到线下交流的重要性。如今，ChatGPT又可能带来新的威胁——比如，要是数学家们选择向AI快速咨询，而非敲响同事的办公室门，后果不堪设想。

每次开始报道一个数学故事时，我都期待着听到那个“偶然相遇破解难题”的桥段。几乎所有重大成果背后，都有这样一次邂逅——可能在机场，也可能在生日派对上——没有这次相遇，成果便无从谈起。这有力地提醒我们：没有任何发现能在真空里诞生。

值得关注的新发现与故事

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全球数学界的线下交流圣地，不过是德国南部黑森林深处的一片空地——奥伯沃尔夫冈数学研究所（Oberwolfach Research Institute for Mathematics）。无数数学家都跟我提起过这个传奇之地，他们的个人网站上也总能看到在研究所标志性雕像前拍摄的照片，这让它成了我数学人生清单上的必去之地。

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《量子杂志》Quanta Magazine 的撰稿人凯文·哈特内特（Kevin Hartnett，我的前任数学专栏作家）曾在2020年初完成了这场“朝圣”。他借此机会，记录下了低维拓扑学研讨会上“有限Wi-Fi+集体用餐”的典型一周 https://www.quantamagazine.org/mathematics-as-a-team-sport-20200331/ 。

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那篇报道是我最爱的文章之一——它罕见地展现了数学研究的真实场景，证明了这门学科其实极具社交属性。

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几个月后，他又撰写了一篇“新冠时代集体数学研究的挽歌”，还附上了研究所封锁期间的照片 https://www.quantamagazine.org/how-has-coronavirus-affected-mathematics-20200428/ 。

图源：Thi My Lien Nguyen | Quanta Magazine

线下数学故事总离不开一个共同的“角色”：咖啡。数学家阿尔弗雷德·雷尼（Alfréd Rényi）曾说：“数学家就是一台把咖啡转化为定理的机器。”（这句数学家名言，常被误认为是传奇数学家保罗·埃尔德什Paul Erdős所言，事实上是其好友阿尔弗雷德·雷尼所言，zzllrr小乐译注。）

我敢打赌，现代数学史上的重大突破，几乎都离不开咖啡的影响——无论是否有人提及这一点。比如，2019年凯瑟琳·曼（Kathryn Mann）访问加拿大皇后大学时，本没打算着手证明一个重要的新定理。但当她和托马斯·巴泰勒米（Thomas Barthelmé）一起喝了咖啡后，一切都变了。

正如《量子杂志》数学编辑约尔达娜·塞佩莱维奇（Jordana Cepelewicz）在2023年报道的那样 https://www.quantamagazine.org/flow-proof-helps-mathematicians-find-stability-in-chaos-20230615/ ，咖啡因的提振作用，以及这场即兴交流带来的灵感，最终催生的不是一篇论文，而是一系列成果。这些研究终于为“阿诺索夫流”（Anosov flows）这类重要动力系统的数学描述难题，带来了久违的突破。

还有一个故事，虽然那些关键的线下时刻没出现在最终稿件里，却让我印象深刻。大约一年前，我报道了卡洛·帕加诺（Carlo Pagano）和彼得·科伊曼斯（Peter Koymans）的研究——他们刚发表了一项关于“数学家对某些方程的认知极限”的重要成果。 https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/

此前很长一段时间，两人都陷入了僵局：这类方程的类型似乎太多，根本无法一一覆盖。后来，一场“数学传话游戏”改变了一切。21世纪初，数学家萨沙·施拉彭托赫（Sasha Shlapentokh）就意识到，只要一种方法对某类特定方程有效，就对所有同类方程都有效。但她从未发表过这个发现。2017年，她在一位同事的生日派对上偶遇了另一位数学家赫克托·帕斯滕（Hector Pasten），随口提起了自己的研究。七年后的2024年，帕加诺和帕斯滕恰好同时身处多伦多。他们一起吃了顿饺子，帕斯滕分享了自己所知的内容。当时帕加诺几乎已经要放弃这个问题，但借助这顿“饺子午餐”学到的知识，他和科伊曼斯最终完成了证明。

“这种灵感，你在Zoom会议上永远得不到，”帕斯滕告诉我，“你真的需要和别人一起吃顿饺子，才能找到下一个突破的关键技巧。”

无论21世纪还会迎来怎样的技术革命，数学家们永远需要午餐，也永远离不开咖啡。幸运的是，这种线下交流的魔力，短期内不会消失。

网络上的报道

既然数学家们热爱咖啡，他们对咖啡展开研究也就不足为奇了。2020年，一组研究人员在《物质》Matter杂志上发表了一篇颇具影响力的论文，建立了咖啡萃取的数学模型。 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2590238519304102 他们主张用更粗的咖啡豆、更快的速度萃取浓缩咖啡——这种有争议的新方法如今被咖啡师称为“涡轮萃取”（turbo shot）。

甚至可以说，至少有一枚菲尔兹奖与咖啡相关的数学有关。“渗流”（percolation）理论利用相互连接的节点网络，模拟液体在颗粒状固体中的流动（比如水在咖啡粉中的渗透）。你可以在《美国数学会通告》Notices of the AMS上读到哈里·凯斯滕（Harry Kesten）关于渗流理论的文章。https://www.ams.org/notices/200605/what-is-kesten.pdf

咖啡还出现在拓扑学中——在这门数学分支里，咖啡杯和甜甜圈（或任何只有一个孔的物体）是等价的。2017年，数学科普博主“三蓝一棕”（3Blue1Brown，之所以取名三蓝一棕是因为博主格兰特·桑德森Grant Sanderson本人是异色瞳——虹膜异色症，3/4蓝色1/4棕色，zzllrr小乐译注）对12位数学类YouTube博主同行搞了个恶作剧：给每个人寄了一个定制咖啡杯，还附上了一道无解的拓扑学难题。https://www.youtube.com/watch?v=VvCytJvd4H0

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-black-holes-keep-pulling-physicists-in-4868227

https://www.quantamagazine.org/mathematics-as-a-team-sport-20200331/

https://www.quantamagazine.org/how-has-coronavirus-affected-mathematics-20200428/

https://www.quantamagazine.org/flow-proof-helps-mathematicians-find-stability-in-chaos-20230615/

https://www.mfo.de

https://www.quantamagazine.org/new-proofs-probe-the-limits-of-mathematical-truth-20250203/

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2590238519304102

https://www.ams.org/notices/200605/what-is-kesten.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=VvCytJvd4H0

https://en.wikipedia.org/wiki/Alfr%C3%A9d_R%C3%A9nyi