在德布罗意提出物质波假设后，随之而来的问题就是应该有个波动方程来描述这个波。在人们对物质波的本质还不是十分了解的情况下又如何给出描述物质波演化的方程呢？完全凭空地构造一个方程显然极其困难。那么，突破口在哪里呢？

不过物质波不是唯一具有波粒二象性的粒子，光本身也有波粒二象性。而“描述”光的“波动性”和“粒子性”的方程有两个，一个是波动方程(如亥姆霍兹方程)，一个是程函方程（光程函数的方程，描述几何光学）。程函方程正是波动光学在短波极限（波长趋近于零）下的近似，它过渡到了描述光线路径的几何光学。另一方面，早在19世纪，哈密顿发现经典力学中的粒子运动轨迹与几何光学中的光线路径在数学形式上存在完美的对应：

• 几何光学（描述光线）：遵循 费马原理（最短光程原理），光线走时间最短的路径。
• 经典力学（描述粒子）：遵循 莫培督-拉格朗日最小作用量原理，粒子走作用量最小的路径。

哈密顿建立了一套统一的数学形式（哈密顿-雅可比方程），使得描述粒子运动的“力学作用量” S 与描述光波的“波前”（等相位面）完全类比。这揭示了一个核心思想：粒子轨迹如同光线，是某种更深层波动理论的短波长极限。换句话说，如果经典力学类比于几何光学，那么必然存在一个完整的‘波动力学’，它类比于波动光学，而经典力学只是其近似。

薛定谔的思路可以概括为以下三步：

1. 已知对应：经典力学（粒子性）≈ 几何光学（短波极限）。
2. 逆向类比：若物质波存在，其完整的波动方程应类似波动光学方程。
3. 桥接两者：已知几何光学（程函方程）是波动光学（波动方程）的短波极限。那么，将描述粒子性的经典力学方程（哈密顿-雅可比方程），视为某个未知波动方程的短波极限，从而反猜出这个波动方程。

以下示意图概括了这一类比关系：

为便于理解，这里只展示了不含时的方程。推导的细节这里不详述。这种逆推过程（从经典方程猜测量子方程）具有启发性，但并非数学上严格的推导，因此理论上可以猜出不同形式的波动方程。中间还需要做其他的近似和假设。最关键的一步是将经典力学中的物理量（如能量、动量）与微分算符相联系例如，例如令动量

从而将经典的哈密顿-雅可比方程‘改造’为作用于波函数 ψ 的偏微分方程。薛定谔方程对氢原子的光谱求解结果与实验完全吻合，之后又被无数实验反复验证，因此被认为是正确的。

总之，薛定谔方程是通过深刻的物理类比和启发性猜测得出的，它本身无法从更基本的经典原理推导出来。因此，它是量子力学的基本公设之一。它的正确性最终由无数实验得以验证。这种‘猜想-验证’的模式，也体现了理论物理学发展中创造性思维的重要性。